题目内容
【题目】在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE=CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若DF=BF，试判定四边形DEBF是何种特殊四边形？并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）四边形DEBF是菱形．理由见解析
【解析】
（1）通过“平行四边形的对边相等、对角相等”的性质推知AD=BC，且∠A=∠C，结合已知条件，利用全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）首先判定四边形DEBF是平行四边形，然后根据“邻边相等的平行四边形是菱形”推知四边形DEBF是菱形．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C．
∵在△ADE与△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）四边形DEBF是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵AE=CF，
∴DF=EB，
∴四边形DEBF是平行四边形．
又∵DF=BF，
∴平行四边形DEBF是菱形．
【题目】某企业对一种设备进行升级改造，并在一定时间内进行生产营销，设改造设备的台数为x，现有甲、乙两种改造方案.
甲方案：升级后每台设备的生产营销利润为4000元，但改造支出费用
由材料费和施工费以及其他费用三部分组成，其中材料费与x的平方成正比，施工费与x成正比，其他费用为2500元，（利润=生产营销利润-改造支出费用）.设甲方案的利润为
（元），经过统计，得到如下数据：
改造设备台数x（台） | 20 | 40 |
利润 | 9500 | 5500 |
乙方案：升级后每台设备的生产营销利润为3500元，但改造支出费用
与x之间满足函数关系式：
（a为常数，
），且在使用过程中一共还需支出维护费用
，（利润=生产营销利润-改造支出费用-维护费用）.设乙方案的利润为
（元）.
（1）分别求出，与x的函数关系式；
（2）若，的最大值相等，求a的值；
（3）如果要将30台设备升级改造，请你帮助决策，该企业应选哪种方案，所获得的利润较大.
