Question

【题目】如图，在中，以为直径的交于点，．

（1）判断与的位置关系，并说明理由；

（2）求证：；

（3）在上取一点，若，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）相切，详见解析；（2）详见解析；（3）．

【解析】

(1)要证明AC与⊙O相切．证得∠BAC=90°即可；
(2)证明△BCA～△ACD，即可得到CA2=CDCB；
(3)设⊙O的半径为，EC=，AC=r，EB=EC=，AE=，在Rt△AEC中，EC2=AE2+AC2，列出方程2=()2+2，求出的值，即可求tan∠ACE的值．

(1)相切．理由是：

∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠B+∠BAD＝90°，

∵∠DAC＝∠B，

∴∠DAC+∠BAD＝90°，

∴∠BAC＝90°，

∴BA⊥AC，

∴AC是⊙O的切线；

(2)在Rt△BCA和Rt△ACD中，

∠BAC＝∠ADC＝90°，∠BCA＝∠ACD ，

∴△BCA△ACD，

∴，

∴；

(3)设⊙O的半径为r，EC＝x，

∵AB＝2AC，

∴AC＝r，

∵∠BCE＝∠B，

∴EB＝EC＝x，

∴AE＝2r﹣x，

在Rt△AEC中，

∵EC2＝AE2+AC2，即，

解得：，

∴，

∴．