Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点的坐标分别为，
小题1:求过点的直线的函数表达式
小题2:在轴上找一点，连接，使得与相似（不包括全等），并求点的坐标；
小题3:在⑵的条件下，如分别是和上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似，如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

小题1:∵点A（-3，0），C（1，0），
∴AC=4，BC=tan∠BAC×AC= ×4=3，B点坐标为（1，3），
设过点A，B的直线的函数表达式为y=kx+b，
由 0=k×(-3)+b ，
3=k+b
解得k= ，b= ，
∴直线AB的函数表达式为y= x+
小题2:如图，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，
在Rt△ABC和Rt△ADB中，
∵∠BAC=∠DAB，
∴Rt△ABC∽Rt△ADB，
∴D点为所求，
又tan∠ADB=tan∠ABC= ，
∴CD=BC÷tan∠ADB=3÷ = ，
∴OD=OC+CD= ，∴D（ ，0）；
小题3:这样的m存在．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，
如图1，
当PQ∥BD时，△APQ∽△ABD，则，
解得m= ，
如图2，
当PQ⊥AD时，△APQ∽△ADB，
则
解得m= ．

主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．