Question

【题目】（1）如图①，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.

（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明详见解析；（2）结论DE=BD+CE仍然成立，证明详见解析.

【解析】试题分析：(1)、根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得出∠BDA＝∠AEC＝90°，然后根据∠BAC＝90°得出∠DBA＝∠EAC，从而说明△ABD和△CAE全等，得出BD＝AE，AD＝CE，从而得出答案；(2)、根据∠BDA＝α得出∠DBA+∠BAD＝180°－α，根据∠BAC =α得出∠BAD+∠EAC＝180°－α，从而说明∠DBA ＝∠EAC，然后得出△ABD和△CAE全等，从而得出BD＝AE，AD＝CE，然后得出答案.

试题解析：(1)、∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D、E ∴∠BDA＝∠AEC＝90°

∴∠DBA+∠BAD＝90° ∵∠BAC＝90° ∴∠BAD+∠EAC＝90° ∴∠DBA＝∠EAC

在△ABD与△CAE中 ∵∴△ABD≌△CAE

∴BD＝AE，AD＝CE ∴DE＝AD+AE＝CE+BD

(2)、结论DE＝BD+CE成立

在△ABD中，∵∠BDA＝α ∴∠DBA+∠BAD＝180°－α ∵∠BAC =α ∴∠BAD+∠EAC＝180°－α

∴∠DBA ＝∠EAC

在△ABD与△CAE中，∵∴△ABD≌△CAE ∴BD＝AE，AD＝CE ∴DE＝AD+AE＝CE+BD