题目内容

（2013•资阳）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C、D作抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），与x轴的另一交点为E，连结CE，点A、B、D的坐标分别为（-2，0）、（3，0）、（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知抛物线的对称轴l交x轴于点F，交线段CD于点K，点M、N分别是直线l和x轴上的动点，连结MN，当线段MN恰好被BC垂直平分时，求点N的坐标；
（3）在满足（2）的条件下，过点M作一条直线，使之将四边形AECD的面积分为3：4的两部分，求出该直线的解析式．
分析：（1）根据平行四边形的性质可求点C的坐标，由待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）连结BD交对称轴于G，过G作GN⊥BC于H，交x轴于N，根据待定系数法即可求出直线BD的解析式，根据抛物线对称轴公式可求对称轴，由此即可求出点N的坐标；
（3）过点M作直线交x轴于点P1，分点P在对称轴的左侧，点P在对称轴的右侧，两种情况讨论即可求出直线的解析式．
解答：解：（1）∵点A、B、D的坐标分别为（-2，0）、（3，0）、（0，4），且四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，
∴点C的坐标为（5，4），
∵过点A、C、D作抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），
∴
4a-2b+c=0
25a+5b+c=4
c=4
，
解得
a=-
2
7
b=
10
7
c=4
．
故抛物线的解析式为y=-
2
7
x2+
10
7
x+4．

（2）连结BD交对称轴于G，
在Rt△OBD中，易求BD=5，
∴CD=BD，则∠DCB=∠DBC，
又∵∠DCB=∠CBE，
∴∠DBC=∠CBE，
过G作GN⊥BC于H，交x轴于N，
易证GH=HN，
∴点G与点M重合，
故直线BD的解析式y=-
4
3
x+4    
根据抛物线可知对称轴方程为x=
5
2
，
则点M的坐标为（
5
2
，
2
3
），即GF=
2
3
，BF=
1
2
，
∴BM=
FM2+FB2
=
5
6
，
又∵MN被BC垂直平分，
∴BM=BN=
5
6
，
∴点N的坐标为（
23
6
，0）；

（3）过点M作直线交x轴于点P1，
易求四边形AECD的面积为28，四边形ABCD的面积为20，
由“四边形AECD的面积分为3：4”可知直线P1M必与线段CD相交，
设交点为Q1，四边形AP1Q1D的面积为S1，四边形P1ECQ1的面积为S2，点P1的坐标为（a，0），
假设点P在对称轴的左侧，则P1F=
5
2
-a，P1E=7-a，
由△MKQ1∽△MFP1，得
MK
Q1K
=
FM
FP1
，
易求Q1K=5P1F=5（
5
2
-a），
∴CQ1=
5
2
-5（
5
2
-a）=5a-10，
∴S2=
1
2
（5a-10+7-a）×4=28×
3
7
，
解得：a=
9
4
，
根据P1（
9
4
，0），M（
5
2
，
2
3
）可求直线P1M的解析式为y=
8
3
x-6，
若点P在对称轴的右侧，则直线P2M的解析式为y=-
8
3
x+
22
3
．
点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：平行四边形的性质，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，抛物线对称轴公式，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．
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3
1+
3
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