Question

如图，⊙O₁、⊙O₂外切于点P，它们的半径分别为4cm、1cm．直线l分别与⊙O₁、⊙O₂相切于A、B，且与直线O_lO₂相交于T．求AB和BT的长．

Answer 1

分析：连接圆心和各个切点，得到一个直角梯形，再作梯形的另一高．得到直角三角形，根据锐角三角函数的知识和勾股定理进行求解．

解答：解：连接O₂B，O₁A，作O₂D⊥O₁A．
∵直线l分别与⊙O₁、⊙O₂相切于A、B，
∴O₁A⊥l，O₂B⊥l，
又∵O₂D⊥O₁A，
∴四边形DABO₂是矩形，
在直角三角形O₂DO₁中，O₂O₁=4+1=5，O₁D=4-1=3，
根据勾股定理得O₂D=4，
AB=O₂D=4；
tan∠O₁O₂D=

3

4

，
即tan∠O₁TA=

3

4

=

O1A

AT

=

O1A

AB+BT

，则BT=

4

3

cm．

点评：此题综合运用了解直角三角形的知识和勾股定理．