Question

已知反比例函数y=

k

x

的图象与正比例函数y=4x的图象相交于点A，点A的坐标是（1，m）．
（1）求m的值及反比例函数的解析式；
（2）若正比例函数y=

1

4

x与反比例函数y=

4

x

的在第一象限内交于点B，过点A作x轴的垂线，C为垂足，且交直线y=

1

4

x于点P，过点B作x轴的垂线，D为垂足，求梯形PBDC的面积；
（3）联结AB，求△AOB的面积．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）根据自变量的值，可得相应的函数值，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据自变量的值，可得相应的函数值，即P点坐标，根据联立y=

1

4

x与反比例函数y=

4

x

，可的方程组，根据解方程组，可得B点坐标，根据线段的和差，可得BD、CD的长，根据梯形的面积公式，可得答案；
（3）根据勾股定理，可得OB的长，根据点到直线的距离公式，可得AE的长，根据三角形的面积公式，可得答案．

解答：解：（1）把A（1，m）代入y=4x
∴m=4，
把A（1，4）代入y=

k

x

，得
k=xy=4，
∴反比例函数的解析式y=

4

x

；
（2）把x=1代入y=

1

4

x，则y=

1

4

∴P（1，

1

4

），
∴PC=

1

4

．
联立y=

1

4

x与反比例函数y=

4

x

，得

y= 4 x y= 1 4 x

，解得

x=4 y=1

，即B（4，1）
∴BD=1，CD=OD-OC=3
S_梯形PBDC=

1

2

(PC+BD)•CD=

1

2

×(

1

4

+1)×3=

15

8

；
（3）如图：连接AB，作AE⊥OB与E点，，
由勾股定理，得OB=

OD2+BD2

=

42+12

=

17

，
由点到直线的距离公式，得AE=

| 1 4 ×1-4|

( 1 4 )2+(-1)2

=

15 17

17

，
由三角形的面积，得S=

1

2

OB•AE=

1

2

×

17

×

15 17

17

=

15

2

．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，（1）利用了待定系数法求函数解析式，（2）利用了线段的和差，梯形的面积公式，（3）利用了点到直线的距离公式：P（x₀，y₀）到直线ax+by+c=0的距离是

|ax0+by0+c|

a2+b2

，三角形的面积公式．