Question

如图，在△ABC中，AB=4，∠ABC=60°，AC=2

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，点P从B点开始出发向C点运动，在运动过程中，设线段BP的长为x．若△ABP为钝角三角形，求x的取值范围．

Answer 1

考点：勾股定理

专题：分类讨论

分析：分两种情况进行讨论，①∠APB为钝角，②∠BAP为钝角，分别确定x的范围即可．

解答：解：作AH⊥BC于H，
∵AB=4，∠B=60°，
∴BH=2，AH=2

3

，
∵AC=3

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，
∴HC=8，
即BC=2+8=10，
∵∠B=60°＜90°，
∴△ABP为钝角三角形只要分两种情况讨论，
①当∠APB为钝角时，此时可得0＜x＜2；
②当∠BAP为钝角时，过点A作AP⊥AB，
∵∠B=60°，
即当4＜x≤6时，∠BAP为钝角．此时BP=8，
即当8＜x≤10时，∠BAP为钝角
综上可得0＜x＜2或8＜x≤10时△ABP为钝角三角形．

点评：此题考查了动点问题的函数图象，有一定难度，解答本题的关键是结合图象及函数图象得出AB、AH的长度，问需要分类讨论，注意不要漏解．