题目内容
15、如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费尔马点．若点M为△ABC的费尔马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；
（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费尔马点．试说明这种作法的依据．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费尔马点．若点M为△ABC的费尔马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；
（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费尔马点．试说明这种作法的依据．
分析：（1）结合等边三角形的性质，根据SAS可证△AMB≌△ENB；
（2）连接MN，由（1）的结论证明△BMN为等边三角形，所以BM=MN，即AM+BM+CM=EN+MN+CM，所以当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小，从而可求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；
（3）根据（2）中费尔马点的定义，又△ABC的费尔马点在线段EC上，同理也在线段BF上．因此线段EC与BF的交点即为△ABC的费尔马点．
（2）连接MN，由（1）的结论证明△BMN为等边三角形，所以BM=MN，即AM+BM+CM=EN+MN+CM，所以当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小，从而可求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；
（3）根据（2）中费尔马点的定义，又△ABC的费尔马点在线段EC上，同理也在线段BF上．因此线段EC与BF的交点即为△ABC的费尔马点．
解答：
解：（1）证明：∵△ABE为等边三角形，
∴AB=BE，∠ABE=60°．
而∠MBN=60°，
∴∠ABM=∠EBN．
又∵BM=BN，
∴△AMB≌△ENB．
（2）连接MN．由（1）知，AM=EN．
∵∠MBN=60°，BM=BN，
∴△BMN为等边三角形．
∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．
∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．
此时，∠BMC=180°-∠NMB=120°；
∠AMB=∠ENB=180°-∠BNM=120°；
∠AMC=360°-∠BMC-∠AMB=120°．
（3）由（2）知，△ABC的费尔马点在线段EC上，同理也在线段BF上．
因此线段EC与BF的交点即为△ABC的费尔马点．
解：（1）证明：∵△ABE为等边三角形，∴AB=BE，∠ABE=60°．
而∠MBN=60°，
∴∠ABM=∠EBN．
又∵BM=BN，
∴△AMB≌△ENB．
（2）连接MN．由（1）知，AM=EN．
∵∠MBN=60°，BM=BN，
∴△BMN为等边三角形．
∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．
∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．
此时，∠BMC=180°-∠NMB=120°；
∠AMB=∠ENB=180°-∠BNM=120°；
∠AMC=360°-∠BMC-∠AMB=120°．
（3）由（2）知，△ABC的费尔马点在线段EC上，同理也在线段BF上．
因此线段EC与BF的交点即为△ABC的费尔马点．
点评：本题考查全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，是一道综合性的题目难度很大．
练习册系列答案
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