Question

14．若正方形有两个相邻顶点在三角形的同一条边上，其余两个顶点分别在三角形的另两条边上，则正方形称为三角形该边上的内接正方形，△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，各边上的高分别记为h_a，h_b，h_c，各边上的内接正方形的边长分别记为x_a，x_b，x_c
（1）模拟探究：如图，正方形EFGH为△ABC的BC边上的内接正方形，求证：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{{h}_{a}}$=$\frac{1}{{x}_{a}}$；
（2）特殊应用：若∠BAC=90°，x_b=x_c=2，求$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$的值；
（3）拓展延伸：若△ABC为锐角三角形，b＜c，请判断x_b与x_c的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据EH∥FG，判定△AEH∽△ABC，再根据相似三角形对应边成比例，列出比例式变形即可得到$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{{h}_{a}}$=$\frac{1}{{x}_{a}}$；
（2）先根据（1）中的结论得出$\frac{1}{b}+\frac{1}{{h}_{b}}=\frac{1}{{x}_{b}}$，再将h_b=c和x_b=2代入变形，即可求得$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$的值；
（3）先根据（1）中的结论得出$\frac{1}{b}+\frac{1}{{h}_{b}}=\frac{1}{{x}_{b}}$和$\frac{1}{c}+\frac{1}{{h}_{c}}=\frac{1}{{x}_{c}}$，变形得出${x}_{b}=\frac{b{h}_{b}}{b+{h}_{b}}$，${x}_{c}=\frac{c{h}_{c}}{c+{h}_{c}}$，再根据△ABC得到bh_b=ch_c，h_b=csinA，h_c=bsinA，最后代入代数式$\frac{1}{{x}_{b}}-\frac{1}{{x}_{c}}$进行变形推导，即可得出x_b与x_c的大小关系．

解答 解：∵正方形EFGH中，EH∥FG，
∴△AEH∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴$\frac{EH}{BC}$=$\frac{AK}{AD}$，即$\frac{{x}_{a}}{a}=\frac{{h}_{a}-{x}_{a}}{{h}_{a}}$，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{{h}_{a}}$=$\frac{1}{{x}_{a}}$；

（2）由（1）得：$\frac{1}{b}+\frac{1}{{h}_{b}}=\frac{1}{{x}_{b}}$，
∵∠A=90°，
∴h_b=c，
又∵x_b=2，
∴$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$；

（3）x_b＞x_c．
证明：由（1）得：$\frac{1}{b}+\frac{1}{{h}_{b}}=\frac{1}{{x}_{b}}$，$\frac{1}{c}+\frac{1}{{h}_{c}}=\frac{1}{{x}_{c}}$，
∴${x}_{b}=\frac{b{h}_{b}}{b+{h}_{b}}$，${x}_{c}=\frac{c{h}_{c}}{c+{h}_{c}}$，
∵S=$\frac{1}{2}$bh_b=$\frac{1}{2}$ch_c，
∴2S=bh_b=ch_c，
又∵h_b=csinA，h_c=bsinA，
∴$\frac{1}{{x}_{b}}-\frac{1}{{x}_{c}}$=$\frac{b+{h}_{b}-（c+{h}_{c}）}{2S}$
=$\frac{b+csinA-（c+bsinA）}{2S}$
=$\frac{（b-c）（1-sibA）}{2S}$，
∵b＜c，sinA＜1，
∴$\frac{（b-c）（1-sibA）}{2S}$＜0，即$\frac{1}{{x}_{b}}-\frac{1}{{x}_{c}}$＜0，
∴x_b＞x_c．

点评 本题主要考查了三角形的综合运用，难度较大，解决问题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．解题时注意，当三角形的高出现时，可以考虑相似三角形的对应高之比等于相似比；其中第（2）个问题也可以运用相似三角形的性质进行计算求解．此外，特殊应用和拓展延伸部分的解答都运用了模拟探究中的结论．