Question

已知：抛物线y=

1

2

x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线是y=

1

2

x-2，连接AC．则△ABC的形状

直角三角形

．

Answer 1

分析：令x=0以及y=0代入y=

1

2

x-2得出B，C的坐标．把相关坐标代入抛物线得出函数关系式，根据函数关系式求出A点坐标，再求出△ABC三边的长即可作出判断．

解答：解：∵点B在x轴上，点C在y轴上，
∴令x=0，则y=-2；令y=0，则x=4，
∴B（4，0），C（0，-2）；
把B（4，0），C（0，-2）代入抛物线y=

1

2

x²+bx+c得

1 2 ×42+4b+c=0 c=-2

，解得

b=- 3 2 c=-2

，
∴抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-

3

2

x-2，
令y=0，则

1

2

x²-

3

2

x-2=0，解得x₁=-1，x₂=4．
∵B（4，0）
∴A（-1，0）．
∵AB=|-1-4|=5，AC=

(0+1)2+(-2-0)2

=

5

，BC=

(4-0)2+(0+2)2

=2

5

∴AC²+BC²=5+20=25=AB²．
∴△ABC是直角三角形．

点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点问题及勾股定理的逆定理，先根据题意求出抛物线的解析式是解答此题的关键．