Question

已知：抛物线y=ax²+x+2．
（1）当对称轴为x=

1

2

时，求此抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）若代数式-x²+x+2的值为正整数，求x的值．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的对称轴为x=-

1

2

，求出a的值，然后把解析式写成顶点坐标式求出顶点坐标，
（2）若代数式-x²+x+2的值为正整数，即（1）中的二次函数y=-x²+x+2的函数值y为正整数，求出y的最大值，然后解方程，求出x的值．

解答：解：（1）∵对称轴为x=

1

2

，∴-

b

2a

=

1

2

．
∵b=1，∴a=-1．
∴此抛物线的解析式为y=-x²+x+2．
顶点坐标为(

1

2

，

9

4

）．
（2）∵代数式-x²+x+2的值为正整数，
即（1）中的二次函数y=-x²+x+2的函数值y为正整数．
由（1）知，y的最大值是

9

4

，∴符合题意的y值有：2和1．
∴当y=2时，有-x²+x+2=2．解得x₁=0或x₂=1；
当y=1时，有-x²+x+2=1．解得x1=

1+ 5

2

或x2=

1- 5

2

．
即所求的x的值为0，1，

1+ 5

2

，

1- 5

2

．

点评：本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质和最值的知识点，熟练掌握二次函数的图象特征和函数的性质是解答本题的关键，本题难度一般．