Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连结AF．

(1)判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；

(2)若AC＝24，AF＝15，求sinB．

Answer 1

【答案】(1) AF与⊙O相切 理由见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）连接OC，先证∠OCF=90°，再证明△OAF≌△OCF，得出∠OAF=∠OCF=90°即可；

（2）先求出AE、EF，再证明△OAE∽△AFE，得出比例式，可求出半径，进而求出直径，由三角函数的定义即可得出结论．

试题解析：解：（1）AF与⊙O相切．理由如下：

连接OC．如图所示．∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCF=90°．∵OF∥BC，∴∠B=∠AOF，∠OCB=∠COF．∵OB=OC，∴∠B=∠OCB，∴∠AOF=∠COF．在△OAF和△OCF中，∵OA=OC，∠AOF=∠COF，OF=OF，∴△OAF≌△OCF（SAS），∴∠OAF=∠OCF=90°，∴AF与⊙O相切；

（2）∵△OAF≌△OCF，∴∠OAE=∠COE，∴OE⊥AC，AE=AC=12，∴EF=．∵∠OAF=90°，∴△OAE∽△AFE，∴，即，∴OA=20，∴AB=40，sinB=．