题目内容
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，-3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．
（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，-3）分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；
（2）设点P的坐标是（t，t-3），则M（t，t2-2t-3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t-3）-（t2-2t-3）=-t2+3t，然后根据二次函数的最值得到
当t=-
=
时，PM最长为
=
，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；
（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有
，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2-2t-3）-（t-3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2-3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．
解答：解：（1）把A（3，0）B（0，-3）代入y=x2+mx+n，得
解得
，
所以抛物线的解析式是y=x2-2x-3．
设直线AB的解析式是y=kx+b，
把A（3，0）B（0，-3）代入y=kx+b，得
，
解得
，
所以直线AB的解析式是y=x-3；
（2）设点P的坐标是（t，t-3），则M（t，t2-2t-3），
因为p在第四象限，
所以PM=（t-3）-（t2-2t-3）=-t2+3t，
当t=-
=
时，二次函数的最大值，即PM最长值为
=
，
则S△ABM=S△BPM+S△APM=
=
．
（3）存在，理由如下：
∵PM∥OB，
∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，
①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有
，所以不可能有PM=3．
②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2-2t-3）-（t-3）=3，解得t1=
，t2=
（舍去），所以P点的横坐标是
；
③当P在第三象限：PM=OB=3，t2-3t=3，解得t1=
（舍去），t2=
，所以P点的横坐标是
．
所以P点的横坐标是
或
．
点评：本题考查了二次函数的综合题：先利用待定系数法求函数的解析式，然后根据解析式表示点的坐标，再利用坐标表示线段的长，利用二次函数的性质求线段的最大值．同时考查了平行四边形的判定定理以及一元二次方程的解法．
（2）设点P的坐标是（t，t-3），则M（t，t2-2t-3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t-3）-（t2-2t-3）=-t2+3t，然后根据二次函数的最值得到
当t=-
=
时，PM最长为
=
，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有
，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2-2t-3）-（t-3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2-3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．解答：解：（1）把A（3，0）B（0，-3）代入y=x2+mx+n，得
解得
，所以抛物线的解析式是y=x2-2x-3．
设直线AB的解析式是y=kx+b，
把A（3，0）B（0，-3）代入y=kx+b，得
，解得
，所以直线AB的解析式是y=x-3；
（2）设点P的坐标是（t，t-3），则M（t，t2-2t-3），
因为p在第四象限，
所以PM=（t-3）-（t2-2t-3）=-t2+3t，
当t=-
=
时，二次函数的最大值，即PM最长值为
=
，则S△ABM=S△BPM+S△APM=
=
．（3）存在，理由如下：
∵PM∥OB，
∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，
①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有
，所以不可能有PM=3．②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2-2t-3）-（t-3）=3，解得t1=
，t2=
（舍去），所以P点的横坐标是
；③当P在第三象限：PM=OB=3，t2-3t=3，解得t1=
（舍去），t2=
，所以P点的横坐标是
．所以P点的横坐标是
或
．点评：本题考查了二次函数的综合题：先利用待定系数法求函数的解析式，然后根据解析式表示点的坐标，再利用坐标表示线段的长，利用二次函数的性质求线段的最大值．同时考查了平行四边形的判定定理以及一元二次方程的解法．
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