Question

如图1所示，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，O为BC的中点，动点E在BA边上自由移动，动点F在AC边上自由移动．

    (1)点E、F移动的过程中，△OEF是否能成为∠EOF=45°的等腰三角形?若能，请指出△OEF为等腰三角形时动点E、F的位置．若不能，请说明理由．

(2)当∠EOF=45°时，设BE=，CF=，求与之间的函数解析式，写出的取值范围．

 (3)在满足(2)中的条件时，若以O为圆心的圆与AB相切(如图2)，试探究直线EF与⊙O的位置关系，并证明你的的结论．

Answer 1

解：如图，

(1)点E、F移动的过程中，△0EF能成为∠EOF=45°的等腰三角形．此时点E、F的位置分别是：

  ①E是BA的中点，F与A重合．

  ②BE=CF=.③E与A重合，F是AC的中点．

(2)在△OEB和△FOC中，

  ∠EOB+∠FOC=135°．

  ∠EOB+∠OEB=135°．∴∠FOC=∠OEB． 

又∵∠B=∠C，

  ∴△OEB∽△FOC

  ∴

  ∴BE=,CF=,OB=OC=

  ∴ (1≤≤2)．

(3)EF与⊙O相切．

  ∵△OEB∽△FOC，

∴

∴

即

 又∵∠B=∠EOF=45°,

∴△BE0∽△0EF

∴∠BEO=∠OEF

∴点0到AB和EF的距离相等．

∴AB与⊙O相切，

点0到EF的距离等于⊙O的半径．

∴EF与⊙O相切．