题目内容

29、阅读探究题：数学课上，张老师向大家介绍了等腰三角形的基本知识：有两条边相等的三角形叫等腰三角形，如图1所示：在△ABC中，若AB=AC，则△ABC为等腰三角形且有∠B=∠C．此时，张老师出示了问题：如图2，四边形ABCD是正方形（正方形的四边相等，四个角都是直角），点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：在线段AB上取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，在此基础上，请聪明的同学们作进一步的研究：
（1）求出角∠AME的度数；
（2）你能在小明的思路下证明结论吗？
（3）小颖提出：如图3，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

分析：（1）运用正方形的性质，得出BM=BE，即可解决，
（2）运用三角形的全等证明，得出线段相等．
（3）仿照（2）中辅助线的做法，证明三角形全等．

解答：

解：（1）∵在线段AB上取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，
∴BM=BE，
∴∠BME=∠BEM=45°，
∴∠AME=135°；

（2）证明：在线段AB上取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，
∵点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交∠DCG的平分线CF于点F，
∴∠FCG=45°，
∴∠ECF=135°，
∵∠FEC+∠AEB=90°，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠MAE=∠FEC，EC=AM，
∴△AME≌△CEF，
∴AE=EF；

（3）证明：在线段AB上取AB边上的点N，连接NE，则AN=EC，
∵点E是边BC边上的点．∠AEF=90°，且EF交∠DCG的平分线CF于点F，
∴∠FCG=45°，
∴∠ECF=135°，
∵∠ANE=90°+45°=135°，
∴∠ECF=∠ANE=135°，
∵∠FEC+∠AEB=90°，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠NAE=∠FEC，EC=AN，∠ECF=∠ANE=135°，
∴△ANE≌△CEF，
∴AE=EF．

点评：此题主要考查了正方形的性质与三角形全等的证明，综合性较强，层层递进比较典型．