Question

如图，CA、CB为⊙O的切线，切点分别为A、B．直径延长AD与CB的延长线交于点E． AB、CO交于点M，连接OB．
（1）求证：∠ABO=

1

2

∠ACB；
（2）若sin∠EAB=

10

10

，CB=12，求⊙O 的半径及

BE

AE

的值．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质,解直角三角形

专题：

分析：（1）由切线长定理及切线的性质得CA=CB，∠BCO=

1

2

∠ACB，∠CBO=90°，CO⊥AB于是得∠ABO=∠BCO，所以∠ABO=

1

2

∠ACB；
（2）由半径相等得∠EAB=∠ABO，所以∠BCO=∠EAB，sin∠BCO=sin∠EAB=

10

10

，求得OB=4即⊙O 的半径为4；再由△OBE∽△CAE得

BE

AE

=

OB

CA

．因为
CA=CB=12，所以

BE

AE

=

1

3

．

解答：（1）证明：∵CA、CB为⊙O的切线，
∴CA=CB，∠BCO=

1

2

∠ACB，
∴∠CBO=90°．
∴CO⊥AB．
∴∠ABO+∠CBM=∠BCO+∠CBM=90°．
∴∠ABO=∠BCO．
∴∠ABO=

1

2

∠ACB．    
（2）解：∵OA=OB，
∴∠EAB=∠ABO．
∴∠BCO=∠EAB．
∵sin∠BCO=sin∠EAB=

10

10

．
∴

OB

CB

=

1

3

．
∵CB=12，
∴OB=4． 
即⊙O 的半径为4．
∴∠OBE=∠CAE=90°，∠E=∠E，
∴△OBE∽△CAE．
∴

BE

AE

=

OB

CA

．
∵CA=CB=12，
∴

BE

AE

=

1

3

．

点评：本题主要考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形．本题综合性较强．