Question

8．如图，抛物线y=-x²-2x+3交x轴于点B（-3，0），交y轴于C（0，3），P为对称轴x=-1上一个动点，若△BPC为直角三角形，求点P的坐标．

Answer 1

分析 首先利用勾股定理求得BC，PB，PC的长，然后分别从点B为直角顶点、点C为直角顶点、点P为直角顶点去分析求解即可求得答案．

解答 解：设P（-1，t），
又∵B（-3，0），C（0，3），
∴BC²=18，PB²=（-1+3）²+t²=4+t²，PC²=（-1）²+（t-3）²=t²-6t+10，
①若点B为直角顶点，则BC²+PB²=PC²，
即：18+4+t²=t²-6t+10，解之得：t=-2；
②若点C为直角顶点，则BC²+PC²=PB²，
即：18+t²-6t+10=4+t²，解之得：t=4，
③若点P为直角顶点，则PB²+PC²=BC²，
即：4+t²+t²-6t+10=18，
解之得：t₁=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，t₂=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$；
综上所述P的坐标为（-1，-2）或（-1，4）或（-1，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$） 或（-1，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）．

点评 本题综合考查了抛物线与x轴的交点以及直角三角形的性质．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．