Question

如图，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线y=（k＞0）经过边OB的中点C和AE的中点D．已知等边△OAB的边长为4．
（1）求该双曲线所表示的函数解析式；
（2）求等边△AEF的边长．

Answer 1

【答案】分析：（1）过点C作CG⊥OA于点G，根据等边三角形的性质求出OG、CG的长度，从而得到点C的坐标，再利用 待定系数法求反比例函数解析式列式计算即可得解；
（2）过点D作DH⊥AF于点H，设AH=a，根据等边三角形的性质表示出DH的长度，然后表示出点D的坐标，再把点D的坐标代入反比例函数解析式，解方程得到a的值，从而得解．
解答：解：（1）过点C作CG⊥OA于点G，
∵点C是等边△OAB的边OB的中点，
∴OC=2，∠AOB=60°，
∴OG=1，CG=OG•tan60°=1•=，
∴点C的坐标是（1，），
由=，得：k=，
∴该双曲线所表示的函数解析式为y=；

（2）过点D作DH⊥AF于点H，设AH=a，则DH=a．
∴点D的坐标为（4+a，），
∵点D是双曲线y=上的点，
由xy=，得（4+a）=，
即：a²+4a-1=0，
解得：a₁=-2，a₂=--2（舍去），
∴AD=2AH=2-4，
∴等边△AEF的边长是2AD=4-8．
点评：本题是对反比例函数的综合考查，包括待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质，解一元二次方程，难度不大，作出辅助线，表示出点C、D的坐标是解题的关键．