Question

如图，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线y＝ (k＞0)经过边OB的中点C和AE的中点D．已知等边△OAB的边长为4．

(1)求该双曲线所表示的函数解析式；

(2)求等边△AEF的边长．

Answer 1

考点：    反比例函数综合题。

专题：    代数几何综合题。

分析：    (1)过点C作CG⊥OA于点G，根据等边三角形的性质求出OG、CG的长度，从而得到点C的坐标，再利用 待定系数法求反比例函数解析式列式计算即可得解；

(2)过点D作DH⊥AF于点H，设AH＝a，根据等边三角形的性质表示出DH的长度，然后表示出点D的坐标，再把点D的坐标代入反比例函数解析式，解方程得到a的值，从而得解．

解答：    解：(1)过点C作CG⊥OA于点G，

∵点C是等边△OAB的边OB的中点，

∴OC＝2，∠ A OB＝60°，

∴OG＝1，CG＝ ，

∴点C的坐标是(1， )，

由 ＝ ，得：k＝ ，

∴该双曲线所表示的函数解析式为y＝ ；

(2)过点D作DH⊥AF于点H，设AH＝a，则DH＝ a．

∴点D的坐标为(4＋a， )，

∵点D是双曲线y＝ 上的点，

由xy＝ ，得 (4＋a)＝ ，

即：a2＋4a－1＝0，

解得：a1＝ －2，a2＝－ －2(舍去)，

∴AD＝2AH＝2 －4，

∴等边△AEF的边长是2AD＝4 －8．

点评：    本题是对反比例函数的综合考查，包括待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质，解一元二次方程，难度不大，作出辅助线，表示出点C、D的坐标是解题的关键．