Question

1．等腰△ABC中，AC=BC，O为AB边上一点，以O为圆心的圆与AC相切于点C，交AB边于D，EF为⊙O的直径，EF⊥BC于G．
（1）如图1，求证：$\widehat{CD}=\widehat{DE}$；
（2）如图2，延长CB交⊙O于H，连接HD、FH，求证：∠EFH=2∠DHC；
（3）在（2）条件下，连接CD，若tan∠HDC=$\frac{24}{7}$，CH=8，求FH的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据AC切⊙O于点C得到∠COA+∠A=90°，根据EF⊥BC于点G得到∠GOB=∠CBA=90°，从而得到∠COA=∠GOB=∠DOE，相等的圆心角所对的弧相等得到$\widehat{CD}$=$\widehat{DE}$；
（2）连接OC、CE，由（1）知∠COA=∠DOE，得到∠E+2∠DHC=90°，根据∠E=∠FHC得到∠FHC+2∠DHC=90°，从而证得∠EFH=2∠DHC；
（3）连接OC、OH、CF，根据EF⊥CH得到$\widehat{CF}=\widehat{FH}$，从而得到∠COH=2∠COF，在Rt△COG中，∠CGO=90°，CG=4，得到OG=$\frac{7}{6}$，然后利用勾股定理得到CO，利用勾股定理得到FH=CF=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．

解答 （1）证明：如图1，连接OC，
∵AC切⊙O于点C，
∴OC⊥AC，
∴∠COA+∠A=90°，
又∵CA=CB，
∴∠A=∠CBA，
∴∠COA+∠CBA=90°，
∵EF⊥BC于点G，
∴∠GOB=∠CBA=90°，
∴∠COA=∠GOB=∠DOE，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{DE}$；

（2）证明：如图2，连接OC、CE，
由（1）知∠COA=∠DOE，
∵OC=OE，
∴CE⊥OD，
∴∠E+∠DOE=90°，
∴∠E+∠DOC=90°，
∵∠DOC=2∠DHC，
∴∠E+2∠DHC=90°，
又∠E=∠FHC，
∴∠FHC+2∠DHC=90°，
∵∠FHC+∠EFH=90°，
∴∠EFH=2∠DHC；

（3）解：如图3，连接OC、OH、CF，
∵EF⊥CH，
∴$\widehat{CF}=\widehat{FH}$，
∴∠COH=2∠COF，
又∵∠COH=2∠CDH，
∴∠COF=∠CDH，
∵CH=8，
∴CG=GH=4，
在Rt△COG中，∠CGO=90°，CG=4，
OG=$\frac{CG}{tan∠COG}$=$\frac{7}{6}$，
∴CO=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{7}{6}）^{2}}$=$\frac{25}{6}$，
∴OF=$\frac{25}{6}$，GF=3，
FH=CF=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．

点评 本题考查了圆的综合知识及勾股定理的应用、锐角三角函数的应用等知识，综合性强，难度较大，能够正确的作出辅助线是解答本题的关键．