题目内容
（2012•邢台二模）如图，∠C=90°，∠CAE=∠ABC，AC=2，BC=3．（1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求OB的长．
分析：（1）根据等腰三角形的性质以及∠CAE=∠ABC得出∠OEB=∠ABC=∠CAE，进而得出∠AEC+∠OEB=90°，求出答案即可；
（2）根据相似三角形的判定得出△ACE∽△BCA，进而得出AB，BM的长，再利用△BOM∽△BAC，得出
=
求出BO即可．
（2）根据相似三角形的判定得出△ACE∽△BCA，进而得出AB，BM的长，再利用△BOM∽△BAC，得出
| BO |
| AB |
| BM |
| BC |
解答：
（1）证明：连接OE，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
又∵∠CAE=∠ABC，
∴∠OEB=∠ABC=∠CAE，
∴∠AEC+∠OEB=90°，
∴∠AEO=90°，
∴AE与⊙O相切．
（2）解：过点O作OM⊥BE，于点M，
∵∠C=∠C=90°，∠CAE=∠ABC，
∴△ACE∽△BCA，
∴
=
，
∴CE=
×2=
，BE=
，
则BM=
，
AB=
=
，
∵∠C=90°，∠OMB=90°，
∴OM∥AC，
∴△BOM∽△BAC，
∴
=
，
∴
=
=
，
∴OB=
．
（1）证明：连接OE，∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
又∵∠CAE=∠ABC，
∴∠OEB=∠ABC=∠CAE，
∴∠AEC+∠OEB=90°，
∴∠AEO=90°，
∴AE与⊙O相切．
（2）解：过点O作OM⊥BE，于点M，
∵∠C=∠C=90°，∠CAE=∠ABC，
∴△ACE∽△BCA，
∴
| CE |
| AC |
| AC |
| BC |
∴CE=
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
则BM=
| 5 |
| 6 |
AB=
| 22+32 |
| 13 |
∵∠C=90°，∠OMB=90°，
∴OM∥AC，
∴△BOM∽△BAC，
∴
| BO |
| AB |
| BM |
| BC |
∴
| OB | ||
|
| ||
| 3 |
| 5 |
| 18 |
∴OB=
5
| ||
| 18 |
点评：此题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，根据已知作出辅助线OM⊥BE进而求出BM的长是解题关键．
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