题目内容

如图，在平面直角坐标系中，已知直线l₁和l₂相交于点A，它们的解析式分别为l₁： $数学公式$ ，l₂： $数学公式$ ．直线l₂与两坐标轴分别相交于点B和点C，点P在线段OB上从点O出发．以每秒1个单位的速度向点B运动，同时点Q从点B出发以每秒4个单位的速度沿B→O→C→B的方向向点B运动，过点P作直线PM⊥OB分别交l₁，l₂于点M，N．连接MQ．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）
（1）求点A的坐标；
（2）点Q在OC上运动时，试求t为何值时，四边形MNCQ为平行四边形；
（3）试探究是否存在某一时刻t，使MQ∥OB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）将两直线解析式联立得： $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
∴A（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；

（2）∵PM⊥x轴，y轴⊥x轴，
∴PM∥CQ，
当PM=CQ时，四边形MNCQ为平行四边形，
对于直线l₂：y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，令x=0，求出y= $\text{[math]}$ ；令y=0，求出x=5，
∴B（5，0），C（0， $\text{[math]}$ ），即OB=5，OC= $\text{[math]}$ ，
∴CQ=OC-OQ= $\text{[math]}$ -（4t-5）= $\text{[math]}$ -4t，
∵OP=t，∴M与N横坐标为t，

∴MN=PN-PM=- $\text{[math]}$ t+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t=- $\text{[math]}$ t+ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ -4t=- $\text{[math]}$ t+ $\text{[math]}$ ，
解得：t= $\text{[math]}$ ，
则当t= $\text{[math]}$ 秒时，四边形MNCQ为平行四边形；

（3）①当点Q在OC上时，如图2，CQ= $\text{[math]}$ +5-4t，MP= $\text{[math]}$ t，
根据平行线的性质可得： $\text{[math]}$ +5-4t=- $\text{[math]}$ t+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t，
解得：t= $\text{[math]}$ ，
②当点Q在BC上时，如图3：
在△BOC中，

sin∠OBC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，MP= $\text{[math]}$ t，QB=20-4t，
点Q到x轴的距离=QBsin∠OBC= $\text{[math]}$ （20-4t），
点Q到x轴的距离为MP，即 $\text{[math]}$ t= $\text{[math]}$ （20-4t），
解得：t= $\text{[math]}$ ，
综上所述：当t= $\text{[math]}$ 或t= $\text{[math]}$ 时，MQ∥OB．
分析：（1）将两直线解析式联立组成方程组，求出方程组的解即可得到A的坐标；
（2）由PM垂直于x轴，y轴垂直于x轴，得到MN与QC平行，当MN=QC时，四边形MNCQ为平行四边形，MN=NP-MP，由OP=t，得到M与N的横坐标都为t，分别代入两直线方程中，表示出出NP与MP，得到MN，由Q走过的路程减去OB得到OQ的长，再由OC-OQ表示出QC，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到满足题意t的值；
（3）分别根据①当点Q在OC上时，②当点Q在BC上时，求出即可．
点评：此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线与坐标轴的交点问题，平行四边形的判定与性质，坐标与图形性质，属于动点问题，是近几年中考的热点试题．