Question

【题目】如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．

(1)求证：△DAC∽△DBA；

(2)过点C作⊙O的切线CE交AD于点E，求证：CE＝AD；

(3)若点F为直径AB下方半圆的中点，连接CF交AB于点G，且AD＝6，AB＝3，求CG的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

【解析】

（1）利用AB为⊙O的直径和AD是⊙O的切线，判断出∠ACD＝∠BAD＝90°，即可得出结论；

（2）利用切线长定理判断出AE=CE，进而得出∠DAC＝∠ECA，再用等角的余角相等判断出∠D＝∠DCE，得出DE＝CE，即可得出结论；

（3）先求出tan∠ABD的值，进而求出GH=2CH，进而得出BC=3BH，再求出BC建立方程求出BH，进而得出GH，即可得出结论．

（1）证明：∵AB是⊙O直径，

∴∠ACD＝∠ACB＝90°，

∵AD是⊙O的切线，

∴∠BAD＝90°，

∴∠ACD＝∠BAD＝90°，

∵∠D＝∠D，

∴△DAC∽△DBA．

（2）证明：∵EA，EC是⊙O的切线，

∴AE＝CE，

∴∠DAC＝∠ECA，

∵∠ACD＝90°，

∴∠ACE＋∠DCE＝90°，∠DAC＋∠D＝90°，

∴∠D＝∠DCE，

∴DE＝CE，

∴AD＝AE＋DE＝CE＋CE＝2CE，

∴CE＝AD．

（3）解：在Rt△ABD中，AD＝6，AB＝3，

∴tan∠ABD＝＝2，

如图，过点G作GH⊥BD于H，

∴tan∠ABD＝＝2，

∴GH＝2BH，

∵点F是直径AB下方半圆的中点，

∴∠BCF＝45°，

∴∠CGH＝45°，

∴CH＝GH＝2BH，

∴BC＝BH＋CH＝3BH，

在Rt△ABC中，tan∠ABC＝＝2，

∴AC＝2BC，

根据勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，

∴4BC2＋BC2＝9，

∴BC＝，

∴3BH＝，

∴BH＝，

∴GH＝2BH＝，

在Rt△CHG中，∠BCF＝45°，

∴CG＝GH＝．