Question

已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠BAC的平分线AF交BD于点E，交BC于点F，
求证：OE=

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CF．

Answer 1

分析：取AF的中点G，连接OG，根据三角形的中位线得出OG=

1

2

FC，OG∥FC，根据正方形的性质求出∠OAB、∠ABO、∠OCB的度数，求出∠OEA和∠OGF的度数，推出OG=OE即可．

解答：证明：取AF的中点G，连接OG，
∵O、G分别是AC、AF的中点，
∴OG=

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2

FC，OG∥FC（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半），
∵正方形ABCD，
∴∠OAB=∠ABO=∠OCB=45°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF=∠OAF=22.5°，
∴∠GEO=90°-22.5°=67.5°，
∵GO∥FC，
∴∠AOG=∠OCB=45°，
∴∠OGE=67.5°，
∴∠GEO=∠OGE，
∴GO=OE，
∴OE=

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2

FC．

点评：本题主要考查对正方形的性质，三角形的内角和定理，三角形的中位线，等腰三角形的判定，平行线的性质，三角形的角平分线等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．