Question

【题目】如图，已知ABCO的顶点A、C分别在直线x＝2和x＝7上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为_____．

Answer 1

【答案】9

【解析】

过点B作BD⊥直线x＝7，交直线x＝7于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E．则OB＝．由于四边形OABC是平行四边形，所以OA＝BC，又由平行四边形的性质可推得∠OAF＝∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，即可得出答案．

解：过点B作BD⊥直线x＝7，交直线x＝7于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝2与OC交于点M，与x轴交于点F，

直线x＝7与AB交于点N，如图：

∵四边形OABC是平行四边形，

∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC，

∵直线x＝2与直线x＝7均垂直于x轴，

∴AM∥CN，

∴四边形ANCM是平行四边形，

∴∠MAN＝∠NCM，

∴∠OAF＝∠BCD，

∵∠OFA＝∠BDC＝90°，

∴∠FOA＝∠DBC，

在△OAF和△BCD中，，

∴△OAF≌△BCD（ASA）．

∴BD＝OF＝2，

∴OE＝7+2＝9，

∴OB＝．

∵OE的长不变，

∴当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB＝OE＝9．

故答案为：9．