Question

如图，在?ABCD中，点G，H分别是AD与BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．
（1）求证：AE=CF；
（2）求证：四边形GEHF是平行四边形．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）通过证△AED≌△CFB（AAS）得到AE=CF；
（2）利用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形的性质推知：EG=FH，EG∥FH．

解答：证明：（1）如图，在?ABCD中，AD=CB，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBD．
又 AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∴在△AED与△CFB中，

∠AED=∠CFB=90° ∠ADE=∠CBD AD=CB

，
∴△AED≌△CFB（AAS），
∴AE=CF；

（2）如图，在?ABCD中，AD=CB．
∵点G，H分别是AD与BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，
∴EG=

1

2

AD=GD，FH=

1

2

BC=BH．
∴EG=FH，∠GED=∠GDE，∠HFB=∠HBF．
又∠ADE=∠CBD．
∴∠GED=∠HFB，
∴EG∥FH．
∴四边形GEHF是平行四边形．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．