Question

11．已知，如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P点是线段BC上的任一动点，过点A、B、P作⊙O，设⊙O的半径为r，当⊙O与线段CD有且只有两个交点时，半径r的取值范围是$\frac{73}{16}$＜r≤5．

Answer 1

分析 如图1，当⊙O与CD相切于E时，根据切割线定理求得PB=$\frac{55}{8}$，根据勾股定理得到AP=$\sqrt{A{B}^{2}+P{B}^{2}}$=$\frac{73}{8}$，求得r=$\frac{73}{16}$，如图2，当矩形ABCD内接于⊙O时，根据勾股定理得到AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10，求得r=5，于是得到结论．

解答 解：如图1，当⊙O与CD相切于E时，
则CE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB=3，
设PB=x，
∴CE²=CP•BC，即3²=（8-x）×8，
∴x=$\frac{55}{8}$，
∴PB=$\frac{55}{8}$，
∴AP=$\sqrt{A{B}^{2}+P{B}^{2}}$=$\frac{73}{8}$，
∴r=$\frac{73}{16}$，
如图2，当矩形ABCD内接于⊙O时，
AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∴r=5，
∴当⊙O与线段CD有且只有两个交点时，半径r的取值范围是$\frac{73}{16}$＜r≤5．
故答案为：$\frac{73}{16}$＜r≤5．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系：判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；直线l和⊙O相离?d＞r．也考查了相似三角形的判定与性质．