Question

如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别是AC、BC上的两点，AD=CE，且AE与BD交于点P，BF⊥AE于点F．

（1）求证：△ABD≌△CAE；

（2）若BP=6，求PF的长．

　

Answer 1

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB=CA，∠BAD=∠ACE=60°，由SAS即可证明△ABD≌△CAE；

（2）由△ABD≌△CAE得出对应角相等∠ABD=∠CAE，根据三角形的外角性质得出∠BPF=60°，由含30°角的直角三角形的性质即可得出PF的长．

【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=CA，∠BAD=∠ACE=60°，

在△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（SAS）；

（2）解：∵△ABD≌△CAE，

∴∠ABD=∠CAE，

∵∠BPF=∠BAP+∠ABD，

∴∠BPF=∠BAP+∠CAE=∠BAD=60°，

∵BF⊥AE，

∴∠PFB=90°，

∴∠PBF=30°，

∴PF=BP=3．

【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．