Question

（2013•宜兴市一模）如图，已知反比例函数y₁=

k1

x

与y₂=

k2

x

（k₁＜0，k₂＞0），过y₂图象上任意一点B分别作x轴、y 轴的平行线交坐标轴于D、P两点，交y₁的图象于A、C，直线AC交坐标轴于点M、N，则S_△OMN=

(k1+k2)2

2k2

． （用含k₁、k₂的代数式表示）

Answer 1

分析：设点B的坐标为（m，

k2

m

），则可得点A的坐标为（

mk1

k2

，

k2

m

），点C的坐标为（m，

k1

m

），求出直线AC的解析式，可得出OM的长度，易得△MON∽△CBA，利用面积比等于相似比平方可求出△OMN的面积．

解答：解：设点B的坐标为（m，

k2

m

），则可得点A的坐标为（

mk1

k2

，

k2

m

），点C的坐标为（m，

k1

m

），
设直线AC的解析式为y=ax+b，将A、C的坐标代入可得：

mk1 k2 a+b= k2 m ma+b= k1 m

，
解得：

a=- k2 m2 b= k1+k2 m

，
故直线AC的解析式为y=-

k2

m2

x+

k1+k2

m

，
则可得OM=-

k1+k2

m

，
由B、C的坐标可得BC=

k2

m

-

k1

m

=

k2-k1

m

，由A、B坐标可得AB=m-

mk1

k2

=

m(k2-k1)

k2

，
从而可得S_△CBA=

1

2

AB×BC=

1

2

×

k2-k1

m

×

m(k2-k1)

k2

=

(k2-k1)2

2k2

，
∵△△MON∽△CBA，
∴

S△MON

S△CBA

=（

OM

BC

）²，即

S△MON

(k2-k1)2 2k2

=（

- k1+k2 m

k2-k1 m

）²，
解得：S_△MON=

(k1+k2)2

2k2

．
故答案为：

(k1+k2)2

2k2

．

点评：本题考查了反比例函数及一次函数的综合题，解答本题的关键是设出各点的坐标，利用相似三角形的面积比等于相似比平方得出关系式求解，计算量较大，注意细心运算．