题目内容
【题目】如图，二次函数
．图象的顶点为
，其图象与
轴的交点
、
的横坐标分别为
、
，与
轴负半轴交于点
．下面五个结论：①
；②
；③当
时，随值的增大而增大；④当
时，
；⑤只有当
时，
是等腰直角三角形．那么，其中正确的结论______．（只填你认为正确结论的序号）
【答案】①⑤
【解析】
根据抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴为直线x=1，根据抛物线的对称轴为直线x=﹣
=1可判断①正确；根据图象得x=1对应的函数值为负数，可判断以②错误；
根据抛物线当a＞0，在对称轴左侧，y随x的增大而减小可判断以③错误；利用x=﹣1或x=3时，ax2+bx+c=0，可判断④错误；设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3）=ax2﹣2ax﹣3a，对称轴x=1交x轴与E点，当△ABD是等腰直角三角形，得到DE=
AB，解方程求出a的值即可判断⑤正确．
∵二次函数的图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1、3，∴AB中点坐标为（1，0），而点A与点B是抛物线上的对称点，∴抛物线的对称轴为直线x=1，∴x=﹣=1，即2a+b=0，所以①正确；
∵当x=1时，对应的函数图象在x轴下方，∴a+b+c＜0，所以②错误；
∵a＞0，∴当x≤1时，y随x值的增大而减，所以③错误；
由于当﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＜0，而x=﹣1或x=3时，ax2+bx+c=0，所以④错误；
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3）=ax2﹣2ax﹣3a，对称轴x=1交x轴与E点，如图，当△ABD是等腰直角三角形，则DE=AB，即|
|=×4，∴a=，所以⑤正确．
故答案为：①⑤．
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