Question

4．如图，点D是△ABC的边BC中点，将一把直角三角尺的直角顶点放于D处，其两条直角边分别交AB、AC于点E、F．试比较BE+CF与EF的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 先利用ASA判定△BGD≌△CFD，从而得出BG=CF，GD=FD，再有DE⊥GF，从而得出EG=EF，两边和大于第三边从而得出BE+CF＞EF．

解答 解：BE+CF＞EF．
理由：作BG∥AC，交FD的延长线于G，
∴∠DBG=∠DCF．
∵D为BC的中点，
∴BD=CD
又∵∠BDG=∠CDF，
在△BGD与△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBG=∠DCF}\\{BD=CD}\\{∠BDG=∠CDF}\end{array}\right.$
∴△BGD≌△CFD（ASA）．
∴GD=FD，BG=CF．
又∵DE⊥FG，
∴EG=EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．
∴在△EBG中，BE+BG＞EG，
即BE+CF＞EF．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质以及三角形三边关系，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．