Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，cosA=

4

5

，点P、Q分别是边AB、AC（端点除外）上的动点，AP：CQ=5：4，联结PQ．
（1）当△APQ和△ABC相似时，求AP的长；
（2）联结PC、BQ，如果BQ⊥PC，求AP的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）分2种情况讨论①PQ∥BC时，②PQ不平行于BC时，分别证明即可；
（2）过P作PE⊥AC于E，可证△BCQ∽△PCE，即可求得AP的值，即可解题．

解答：解：（1）∵Rt△ABC中，cosA=

4

5

，AB=10，
∴BC=6，AC=8，
①当PQ∥BC时，当AP：CQ=5：4，AP：CQ=5：4，
∴P、Q分别为AB，AC中点；AP=5，
②当PQ不平行于BC，△APQ∽△ABC时，

AP

AC

=

AQ

AB

，

AP

AQ

=

4

5

，
∵AP：CQ=5：4，
∴AQ：CQ=25：16，
此时PA=8

20

41

，
∴当AP=5或8

20

41

时，△APQ∽△ABC．
（2）过P作PE⊥AC于E．

∵BQ⊥PC∠C=90°，
∴∠CBQ=∠PCE，
∵∠BCQ=∠CEP=90°，
∴△BCQ∽△PCE，
∴PE：CQ=CE：BC，
∵AP=5x   AE=PA×cosA=4x∴PE=3x，
CE=AC-AE=8-4x，
∴3x：4x=（8-4x）：6，
∴x=

7

8

AP=5×

7

8

=

35

8

．

点评：本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质．