题目内容

如图，已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，CE平分∠DCO交⊙O于点E．
（1）求证：点E平分弧ADB；
（2）若⊙O的半径为2，CD=2 $数学公式$ ．
①求点O到弦AC的距离；
②在圆周上，共有几个点到直线AC的距离为1的点，在图中画出这些点，并指出△AOC的外接圆的圆心的位置；
③若圆上有一动点P从点A出发，顺时针方向在圆上运动一周，当S_△POA=S_△AOC时，求点P所走过的弧长．

（1）证明：如图1，连接OE，
∵OE=OC，∴∠OEC=∠OCE，
又∵CE平分∠OCD，∴∠OCE=∠ECD，
∴∠OEC=∠ECD，∴OE∥CD，
∵CD⊥AB，∴OE⊥AB，
即∠AOE=∠EOB=90°，
∴弧AE=弧EB，
即点E平分弧ADB；

（2）解：①如图1，过O点作OF⊥AC于F，则AF=CF．
∵CD⊥AB于H，∴CH=DH= $\text{[math]}$ CD= $\text{[math]}$ ．
在Rt△OCH中，∵OH= $\text{[math]}$ =1，∴∠COH=60°，
∴∠OAC=30°，∴OF= $\text{[math]}$ OA=1；

②共有三个点，其一是延长OF交⊙O于M点，
另外过O点作AC的平行线交⊙O于点N、K，故共有三个点．
△AOC的外心就是点M；

③∵∠AOC=120°，
∴点P有四个点满足S_△POA=S_△AOC，
分别是∠AOP=60°、120°、240°、300°，
∴弧AP的长分别为： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ π．
分析：（1）连接OE，首先证明OE∥CD，进而得出∠AOE=∠EOB=90°，即可得出点E平分弧ADB；
（2）①过O点作OF⊥AC于F，则AF=CF，进而得出CH=DH= $\text{[math]}$ CD= $\text{[math]}$ ，进而得出∠OAC的度数，即可得出答案；
②利用已知得出共有三个点，其一是延长OF交⊙O于M点，另外过O点作AC的平行线交⊙O于点N、K，共有三个点；
③当S_△POA=S_△AOC时，点P有四个点满足S_△POA=S_△AOC分别是∠AOP=60°、120°、240°、300°进而求出即可．
点评：此题主要考查了垂径定理以及弧长公式的应用和锐角三角函数关系以及三角形外心的性质等知识，结合图形得出符合题意的点的位置是解题关键．