Question

4．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平移抛物线y=x²-2x+3，使平移后的抛物线经过点A（-2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，求平移后的抛物线的解析式．

Answer 1

分析 利用A点坐标和等腰三角形的性质可求得B点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，把A、B的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式．

解答 解：∵点B在y轴上，且△AOB是等腰直角三角形，A（-2，0），
∴点B的坐标为（0，2）或（0，-2），
根据题意设平移后抛物线解析式为y=x²+bx+c，
将（-2，0）、（0，2）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{4-2b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴此时抛物线解析式为y=x²+3x+2；
将（-2，0）、（0，-2）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{4-2b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴此时抛物线解析式为y=x²+x-2，
综上，平移后抛物线解析式为y=x²+3x+2或y=x²+x-2．

点评 本题主要考查二次函数图象与平移变换及待定系数法求函数解析式，熟练掌握平移变换不改变图形的形状和大小是解题的关键．