Question

8．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点E，F分别在边AB，BC上，EF与BD交于G，且∠DEF=60°，若AD=3，AE=2，则sin∠BEF=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

Answer 1

分析 作EH⊥AD于H，由含30°角的直角三角形的性质得出AH，求出DH，由勾股定理EH，由勾股定理求出DE，由三角形的外角性质得出∠BEF=∠ADE，求出sin∠ADE即可．

解答 解：作EH⊥AD于H，如图所示：
则∠AEH=90°-∠A=30°，
∴AH=$\frac{1}{2}$AE=1，
∴EH=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵AD=3，
∴DH=AD-AH=2，
在Rt△DEH中，根据勾股定理得，DE=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵∠DEF+∠BEF=∠A+∠ADE，∠DEF=60°=∠A，
∴∠BEF=∠ADE，
∴sin∠BEF=sin∠ADE=$\frac{EH}{DE}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了菱形的性质和相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数的运用，证明三角形相似是解决问题的关键．