题目内容

如图，矩形ABCD的面积为16cm²，它的两条对角线交于点O₁，以AB、AO₁为邻边作?ABC₁O₁，设?ABC₁O₁的对角线交于点O₂，同样以AB、AO₂为邻边作?ABC₂O₂，…，依此类推，则?ABC₆O₆的面积为________cm²．

$\text{[math]}$
分析：根据矩形性质得出O₁A=O₁C，O₁B=O₁D，AC=BD，推出O₁A=O₁C=O₁B=O₁D，求出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ S_△ABC= $\text{[math]}$ S_矩形ABCD=4cm²，求出四边形ABC₁O₁是菱形，推出AC₁=2O₁A，O₁B=2O₁O₂=2O₂B，AC₁⊥BO₁，平行四边形ABC₁O₁的面积是 $\text{[math]}$ AC₁×BO₁=8cm²，推出△ABO₂的面积是2cm²，同理平行四边形ABC₂O₂的面积是4cm²，平行四边形ABC₃O₃的面积是2cm²，平行四边形ABC₄O₄的面积是1cm²，平行四边形ABC₅D₅的面积是 $\text{[math]}$ cm²，平行四边形ABC₆O₆的面积是 $\text{[math]}$ cm²．
解答：∵四边形ABCD是矩形，
∴O₁A=O₁C，O₁B=O₁D，AC=BD，
∴O₁A=O₁C=O₁B=O₁D，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ S_△ABC= $\text{[math]}$ S_矩形ABCD= $\text{[math]}$ ×16cm²=4cm²，

∵四边形ABC₁O₁是平行四边形，O₁A=O₁B，
∴四边形ABC₁O₁是菱形，
∴AC₁=2O₁A，O₁B=2O₁O₂=2O₂B，AC₁⊥BO₁，
∴平行四边形ABC₁O₁的面积是 $\text{[math]}$ AC₁×BO₁= $\text{[math]}$ ×2AO₂×BO₁=2× $\text{[math]}$ ×AO₂×BO₁=2×4cm²=8cm²，
∴△ABO₂的面积是 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =2cm²，
同理平行四边形ABC₂O₂的面积是4cm²，
平行四边形ABC₃O₃的面积是2cm²，
平行四边形ABC₄O₄的面积是1cm²，
平行四边形ABC₅D₅的面积是 $\text{[math]}$ cm²，
平行四边形ABC₆O₆的面积是 $\text{[math]}$ cm²，
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了矩形的性质，平行四边形性质，菱形的性质和判定，三角形的面积等知识点，解此题的关键是找出规律，题目比较好，但是有一定的难度．