Question

如图，正方形ABCD，P为BC边上一点，以AP为斜边在正方形ABCD内作等腰Rt△APQ，连接AC交PQ于点E，连接DQ．
（1）求证：△ACP∽△ADQ；
（2）当P为BC的中点时，求

PE

PC

的值；
（3）在（2）的条件下，求证：EQ=

5

2

DQ．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质得∠DAQ+∠QAE=45°，

AC

AD

=

2

；根据等腰直角三角形的性质得∠PAC+∠QAE=45°，

AP

AQ

=

2

，所以∠PAC=∠QAD，

AC

AD

=

AP

AQ

，于是可判断△ACP∽△ADQ；
（2）设正方形ABCD的边长为2a，则PB=PC=a，AP=

5

a，AC=2

2

a，由∠APE=∠ACP=45°，∠PAE=∠CAP得到△APE∽△ACP，利用相似比可计算出

PE

PC

=

10

4

；
（3）由（2）的结论得PE=

10

4

a，而PQ=

2

2

AP=

10

2

a，则EQ=PQ-PE=

10

4

a，再利用（1）的结论得到

PC

DQ

=

AC

AD

，可计算得到DQ=

2

2

a，然后求EQ与DQ的比值．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAC=45°，即∠DAQ+∠QAE=45°，

AC

AD

=

2

，
∵△APQ为等腰直角三角形，
∴∠QAP=45°，即∠PAC+∠QAE=45°，

AP

AQ

=

2

，
∴∠PAC=∠QAD，

AC

AD

=

AP

AQ

，
∴△ACP∽△ADQ；

（2）解：设正方形ABCD的边长为2a，则PB=PC=a，
∴AP=

AB2+PB2

=

(2a)2+a2

=

5

a，AC=2

2

a，
∵∠APE=∠ACP=45°，∠PAE=∠CAP，
∴△APE∽△ACP，
∴

PE

PC

=

AP

AC

=

5 a

2 2 a

=

10

4

；

（3）证明：∵PC=a，

PE

PC

=

10

4

，
∴PE=

10

4

a，
∵PQ=

2

2

AP=

10

2

a，
∴EQ=PQ-PE=

10

4

a，
又∵△ACP∽△ADQ，
∴

PC

DQ

=

AC

AD

，即

a

DQ

=

2 2 a

2a

，
∴DQ=

2

2

a，
∴

EQ

DQ

=

10 a 4

2 2 a

=

5

2

，
∴EQ=

5

2

DQ．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；有两组对应角相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比等于相等，都等于相似比．也考查了等腰直角三角形的性质和正方形的性质．