题目内容

如图，已知Rt△ABO，∠BAO＝90°，以点O为坐标原点，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，AO＝3，∠AOB＝30°，将Rt△ABO沿OB翻折后，点A落在第一象限内的点D处．

(1)求D点坐标；

(2)若抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)经过B、D两点，求此抛物线的表达式；

(3)若抛物线的顶点为E，它的对称轴与OB交于点F，点P为射线OB上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M．是否存在点P，使得以E、F、M、P为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考公式：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标是(－，)．

答案：
解析：

　　(1)过点D作DC⊥x轴于点C，如图(1)．(1分)

　　由翻折可知：DO＝AO＝3，

　　∠AOB＝∠BOD＝30°，

　　∴∠DOC＝30°．

　　在Rt△COD中，

　　OC＝OD·cos30°＝3×＝，

　　CD＝OD·sin30°＝3×＝，

　　∴D()．(4分)

　　(2)在Rt△AOB中，

　　AB＝AO·tan30°＝3×＝，

　　∴B(，3)．

　　∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过B(，3)，D()两点，

　　∴

　　解得

　　∴此抛物线表达式为y＝－x2＋x＋3．(8分)

　　(3)存在符合条件的点P，设P(x，y)，

　　作EH⊥PM于点H，FG⊥PM于点G，如图(2)．

　　∵E为抛物线y＝－x2＋x＋3的顶点，

　　∴E()．(10分)

　　设OB所在直线的表达式为y＝kx，

　　将点B(，3)代入，得k＝，

　　∴y＝x．

　　∵P在射线OB上，

　　∴P(x，x)，F()．

　　则H(x，)，G(x，)．

　　∵M在抛物线上，M．

　　要使四边形EFMP为等腰梯形，只需PH＝GM．

　　，(12分)

　　即－x2＋x＋3＋x＝5．

　　解得x1＝2，x2＝．

　　∴P1点坐标为(2，6)，P2点坐标为()．


练习册系列答案
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22、如图，已知Rt△ABC，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，BD的垂直平分线分别交AB，BC于点E、F，CD=CG．
（1）请以图中的点为顶点（不增加其他的点）分别构造两个菱形和两个等腰梯形．那么，构成菱形的四个顶点是
B，E，D，F
或
E，D，C，G
；构成等腰梯形的四个顶点是
B，E，D，C
或
E，D，G，F
；
（2）请你各选择其中一个图形加以证明．
如图，已知Rt△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=90°，AH⊥BC，垂足为D，过点B作弦BF交AD于点精英家教网E，交⊙O于点F，且AE=BE．
（1）求证：
AB
=
AF
；
（2）若BE•EF=32，AD=6，求BD的长．
5、如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P是BC延长线上一点，PE⊥AB交BA延长线于E，PF⊥AC交AC延长线于F，D为BC中点，连接DE，DF．求证：DE=DF．
如图，已知Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=5．过点A做AE⊥AB，且AE=15，连接BE交AC于点P．
（1）求PA的长；
（2）以点A为圆心，AP为半径作⊙A，试判断BE与⊙A是否相切，并说明理由．
如图，已知Rt△ABC中∠A=90°，AB=3，AC=4．将其沿边AB向右平移2个单位得到△FGE，则四边形ACEG的面积为
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