Question

如果两个二次函数图象的开口向上，顶点坐标都相同，那么称这两个二次函数互为“同簇二次函数”，显然“同簇二次函数”不是唯一的．

（1）已知二次函数y=3x²﹣6x+1．

①写出它的开口方向，顶点坐标；

②请写出它的两个不同的“同簇二次函数”．

（2）已知两个二次函数y₁=a₁（x﹣k₁）²+h₁，y₂=a₂（x﹣k₂）²+h²是“同簇二次函数”，则a₁a₂　　　　　　0，k₁　　　　　　k₂，h₁　　　　　　h₂（均填“＞”、“=“、或“＜”号）

①如果y₃=y₁+y₂也是y₁的“同簇二次函数”，求证：y₃的顶点在x轴上；

②如果直线y=t，与y₁、y₂顺次交于点A、B、C、D，且AB=BC=CD，求的值．

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）①由a＞0，可判断出抛物线的开口方向，然后利用配方法可求得抛物线的顶点坐标；

②由“同簇二次函数”的定义写出两个顶点坐标为（1，﹣2），a≠3的二次函数即可；

（2）由同簇二次函数可知a₁＞0，a₂＞0，k₁=k₂，h₁=h₂；

①列出关于y₃的函数关系式，然后依据“同簇二次函数”的定义可求得h₁=0，从而可求得y₃的顶点在x轴上；

②分别求得y₁=a₁（x﹣k₁）²+h₁与y=t、y₂=a₂（x﹣k₁）²+h₁与y=t的交点横坐标，最后依据AD=3BC可求得的值．

【解答】解：（1）①∵a=3＞0，

∴抛物线的开口向上．

∵y=3x²﹣6x+1=3（x﹣1）²﹣2，

∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）．

②由“同簇二次函数”的定义可知y₁=2（x﹣1）²﹣2，y₂=（x﹣1）²﹣2均是y=3x²﹣6x+1的同簇二次函数．

（2）∵由同簇二次函数可知a₁＞0，a₂＞0，k₁=k₂，h₁=h₂，

∴a₁a₂＞0，k₁=k₂，h₁=h₂．

故答案为：＞，=，=．

①∵y₃=y₁+y₂，

∴y₃=a₁（x﹣k₁）²+h₁+a₂（x﹣k₂）²+h₂．

∵k₁=k₂，h₁=h₂，

∴y₃=（a₁+a₂）（x﹣k₁）²+2h₁．

∵y₃与y₁互为同簇二次函数．

∴2h₁=h₁．

解得h₁=0．

∴y₃=（a₁+a₂）（x﹣k₁）²．

∴y₃的顶点在x轴上．

②将y₁=a₁（x﹣k₁）²+h₁与y=t联立解得：x=k₁±．

将y₂=a₂（x﹣k₁）²+h₁与y=t联立解得：x=k₁±．

∵AB=BC=CD，

∴AD=3BC．

∴2=6．

解得： =9．

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了配方法求二次函数的顶点坐标、函数图象的交点与方程组的关系、理解同簇二次函数的概念是解题的关键．