Question

如图在等腰三角形ABC中，∠ABC=120°，点P是底边AC上的一个动点，M、N分别是AB、BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则△ABC的周长是________．

Answer 1

4+2
分析：首先要明确P点在何处，作点M关于AC的对称点M′，根据勾股定理求出MN的长，由三角形中位线的性质及三角函数分别求出AB、BC、AC的长，从而得到△ABC的周长．
解答：作M点关于AC的对称点M′，连接M'N，与AC的交点即是P点的位置，
∵M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN∥AC，MN=AC，
∴==1，
∴PM′=PN，
∴MP=PN，
∵在△MBP和△NBP中，
，
∴△MBP≌△NBP（SSS），
∴∠ABP=∠CBP=60°，
∵AB=BC，
∴AP=PC，
即：当PM+PN最小时P在AC的中点，
∵PM+PN的最小值为2，
∴PM=PN=1，MN=，
∴AC=2，
AB=BC=2PM=2PN=2，
∴△ABC的周长为：2+2+2=4+2．
故答案为：．
点评：本题考查等腰三角形的性质和轴对称最短路线，及三角函数等知识的综合应用．正确确定P点的位置是解题的关键．