Question

12、如图，等腰三角形ABC中，P为底边BC上任意点，过P作两腰的平行线分别与AB，AC相交于Q，R两点，又P′是P关于直线RQ的对称点，证明：P′在△ABC的外接圆上．

Answer 1

分析：①容易得到三角形AP'Q全等于PRQ，所以∠P'AQ=∠QRP；
②由对称关系得到，∠QRP=∠QRP'，所以∠QRP'=∠P'AQ，所以P'，A，R，Q四点共圆，进一步可以得到∠AP'B+∠BCA=180度，所以ABCP'四点共圆，P′在△ABC的外接圆上．

解答：证明：连接P'Q，P'A，QR，
∵QP∥AC，PR∥AB
∴四边形ARPQ为平行四边形
∴AQ=PR
P′Q=PQ
∠RQP=∠P′QA
∴△AP′Q≌△PRQ
∴∠P'AQ=∠QRP；
由对称关系得到，∠QRP=∠QRP'，所以∠QRP'=∠P'AQ，所以P'，A，R，Q四点共圆，
∴∠QP'R=∠BAC
同理得到∠QBP'=∠QP'B，∠RP'A=∠BAP'
∴可以得到∠AP'B+∠BCA=180度，所以ABCP'四点共圆，
∴P′在△ABC的外接圆上．

点评：此题主要考查了四点共圆，点的对称性，三角形的全等证明，综合性较强．