Question

【题目】如图，OA＝4，C是射线OA上一点，以O为圆心，OA的长为半径作使∠AOB＝152°，P是上一点，OP与AB相交于点D，点P′与P关于直线OA对称，连接CP，

尝试：

（1）点P′在所在的圆　 　（填“内”“上”或“外”）；

（2）AB＝　 　．

发现：

（1）PD的最大值为　 　；

（2）当＝2π，∠OCP＝28时，判断CP与所在圆的位置关系探究当点P′与AB的距离最大时，求AP的长．（注：sin76°＝cos14°＝）

Answer 1

【答案】尝试：（1）上；（2）2；发现：（1）3；（2）2．

【解析】

尝试：（1）根据圆的轴对称性，即可得到结论；

（2）如图1，延长AO交所在圆上的点E，连接BE，根据等腰三角形的性质得到∠BAO＝∠ABO＝14°，根据三角函数的定义即可得到结论；

发现：（1）当OP⊥AB时，PD有最大值，在Rt△AOD中解直角三角形即可得到结论；

（2）根据弧长公式求得∠BOP＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；

探究：作P′E⊥AB于点E，连接P′A，如图2，此时OE⊥AB，求得AE＝AB＝，根据勾股定理得到OE＝＝1，AP′＝，根据轴对称的性质即可得到AP＝AP′＝2．

尝试：（1）∵点P′与P关于直线OA对称，

∴点P′在所在的圆上，

故答案为：上；

（2）如图1，延长AO交所在圆上的点E，

连接BE，则∠ABE＝90°，

∵∠AOB＝152°，OB＝OA，

∴∠BAO＝∠ABO＝14°

∵OA＝4，

∴AE＝2OA＝8，

∴AB＝AEcos14°＝8×＝2，

故答案为：2；

发现：（1）当OP⊥AB时，PD有最大值，

∵在Rt△AOD中， OA＝4，cos∠OAD＝，

∴AD＝，

∴OD＝＝1，

∴PD＝4﹣1＝3，

∴PD的最大值为3，

故答案为：3；

（2）相切，理由如下：

当＝2π时，＝2π，

解得：n＝90，

∴∠BOP＝90°，

∵∠AOB＝152°，

∴∠AOP＝62°，

∵∠OCP＝28°，

∴∠OPC＝90°，

∵OP为圆的半径，

∴CP与所在圆相切；

探究：作P′E⊥AB于点E，

∵P′在所在圆上，

∴当P′E过圆心O时，P′E最大，

连接P′A，如图2，此时OE⊥AB，AE＝AB＝，

∵OA＝4，

∴OE＝＝1，

∵OP′＝OP＝4，

∴P′E＝P′O+OE＝5，

∴AP′＝，

∵点P′与P关于直线OA对称，

∴AP＝AP′＝2．