Question

如图已知OB是半径，弦EF垂直OB于H，点A是HF上的一点，BA和⊙O相交于另一点C，过点C的切线和EF的延长线交于点D：
（1）求证：DA=DC；  
（2）当DF：EF=1：8，DF=时，求AB•AC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OC，构建等腰三角形OBC，由等腰三角形的性质知∠1=∠2；然后由切线的性质及直角三角形的两个锐角互余的性质求得∠3=∠4，因为等角对等边，所以DA=DC；
（2）由切割线定理知CD²=DF•DE，所以CD=AD=3；从而求得AF=3-=2，AE=6；最后根据相交弦定理求得AB•AC=AE•AF=24．
解答：解：（1）连接OC，则有∠1=∠2（1分），
又CD是切线，∴OC⊥CD，（1分）
而∠4与∠1互余，∠3与∠2互余，
∴∠3=∠4，
∴DA=DC（2分）

（2）∵DF=，
∴EF=8（1分），
又∵CD²=DF•DE==18，
∴CD=3=AD（1分）
∴AF=3-=2，AE=6（1分）
∴AB•AC=AE•AF=24．（1分）
点评：本题综合考查了切线的性质、垂径定理、相交弦定理、切割线定理．解答该题的关键是通过作辅助线OC，利用圆的性质构造等腰三角形．