题目内容
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
（1）求二次函数y=x2+bx+c的解析式；
（2）点M为位于BC下方的抛物线上一动点，求点M运动到什么位置时，△BCM的面积最大？
（3）直线BC上是否存在异于B、C的一点P，作PQ∥y轴交与二次函数于点Q，使PQ=BP？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：压轴题
分析：（1）利用直线解析式求出点A、B的坐标，再求出点C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）过点M作MN∥y轴与BC相交于点N，表示出MN，再根据S△BCM=S△BMN+S△CMN列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答；
（3）利用勾股定理列式求出AB，根据抛物线与直线解析式表示出PQ，再利用锐角的正弦表示出BP，然后列出方程求解即可．
（2）过点M作MN∥y轴与BC相交于点N，表示出MN，再根据S△BCM=S△BMN+S△CMN列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答；
（3）利用勾股定理列式求出AB，根据抛物线与直线解析式表示出PQ，再利用锐角的正弦表示出BP，然后列出方程求解即可．
解答：解：（1）令y=0，则
x+3=0，解得x=-4，
令x=0，则y=3，
所以，点A（-4，0），B（0，3），
∵AB=BC，
∴点C的坐标为（4，6），
将点B、C的坐标代入y=x2+bx+c得
，
解得
．
所以，二次函数解析式为y=x2-
x+3；
（2）如图，过点M作MN∥y轴与BC相交于点N，
则MN=（
x+3）-（x2-
x+3）=-x2+4x，
所以，S△BCM=S△BMN+S△CMN，
=
（-x2+4x）×4=，
=-2（x-2）2+8，
∴当x=2时，△BCM的面积最大为8，
此时，x2-
x+3=22-
×2+3=
，
点M的坐标为（2，
）；
（3）由勾股定理得，AB=
=
=5，
PQ=|x2-
x+3-（
x+3）|=|x2-4x|，
BP=|x|÷
=
|x|，
∵PQ=BP，
∴|x2-4x|=
|x|，
∴x2-4x=
x，x2-4x=-
x，
解得x=
或x=
，
当x=
时，y=
×
+3=
，
当x=
时，y=
×
+3=
，
所以，点P的坐标为（
，
）或（
，
）．
| 3 |
| 4 |
令x=0，则y=3，
所以，点A（-4，0），B（0，3），
∵AB=BC，
∴点C的坐标为（4，6），
将点B、C的坐标代入y=x2+bx+c得
|
解得
|
所以，二次函数解析式为y=x2-
| 13 |
| 4 |
（2）如图，过点M作MN∥y轴与BC相交于点N，
则MN=（
| 3 |
| 4 |
| 13 |
| 4 |
所以，S△BCM=S△BMN+S△CMN，
=
| 1 |
| 2 |
=-2（x-2）2+8，
∴当x=2时，△BCM的面积最大为8，
此时，x2-
| 13 |
| 4 |
| 13 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
点M的坐标为（2，
| 1 |
| 2 |
（3）由勾股定理得，AB=
| OA2+OB2 |
| 42+32 |
PQ=|x2-
| 13 |
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| 3 |
| 4 |
BP=|x|÷
| 4 |
| 5 |
| 5 |
| 4 |
∵PQ=BP，
∴|x2-4x|=
| 5 |
| 4 |
∴x2-4x=
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
解得x=
| 21 |
| 4 |
| 11 |
| 4 |
当x=
| 21 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 21 |
| 4 |
| 111 |
| 16 |
当x=
| 11 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 11 |
| 4 |
| 81 |
| 16 |
所以，点P的坐标为（
| 21 |
| 4 |
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| 11 |
| 4 |
| 81 |
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点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，二次函数的最值问题，锐角三角函数，难点在于（2）把△BCM分成两个三角形，（3）表示出PQ、BP的长度，然后列出方程．
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| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
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