题目内容

如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）
（1）求B点坐标；

（2）若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连OD，求∠AOD的度数；
（3）过点A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式 $数学公式$ =1是否成立？若成立，请证明：若不成立，说明理由．

解：（1）作AE⊥OB于E，
∵A（4，4），
∴OE=4，
∵△AOB为等腰直角三角形，且AE⊥OB，
∴OE=EB=4，
∴OB=8，
∴B（8，0）；

（2）作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，

∵△ACD为等腰直角三角形，
∴AC=DC，∠ACD=90°
即∠ACF+∠DCF=90°，
∵∠FDC+∠DCF=90°，
∴∠ACF=∠FDC，
在△DFC和△CEA中， $\text{[math]}$
∴△DFC≌△CEA，
∴EC=DF，FC=AE，
∵A（4，4），
∴AE=OE=4，
∴FC=OE，即OF+EF=CE+EF，
∴OF=CE，
∴OF=DF，
∴∠DOF=45°，
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°；

方法一：过C作CK⊥x轴交OA的延长线于K，

则△OCK为等腰直角三角形，OC=CK，∠K=45°，
又∵△ACD为等腰Rt△，
∴∠ACK=90°-∠OCA=∠DCO，AC=DC，
∴△ACK≌△DCO（SAS），
∴∠DOC=∠K=45°，
∴∠AOD=∠AOB+∠DOC=90°；

（3） $\text{[math]}$ 成立，理由如下：
在AM上截取AN=OF，连EN．

∵A（4，4），
∴AE=OE=4，
又∵∠EAN=∠EOF=90°，AN=OF，
∴△EAN≌△EOF（SAS），
∴∠OEF=∠AEN，EF=EN，
又∵△EGH为等腰直角三角形，
∴∠GEH=45°，即∠OEF+∠OEM=45°，
∴∠AEN+∠OEM=45°
又∵∠AEO=90°，
∴∠NEM=45°=∠FEM，
又∵EM=EM，
∴△NEM≌△FEM（SAS），
∴MN=MF，
∴AM-MF=AM-MN=AN，
∴AM-MF=OF，
即 $\text{[math]}$ ；

方法二：在x轴的负半轴上截取ON=AM，连EN，MN，
则△EAM≌△EON（SAS），EN=EM，∠NEO=∠MEA，
即∠NEF+∠FEO=∠MEA，而∠MEA+∠MEO=90°，
∴∠NEF+∠FEO+∠MEO=90°，而∠FEO+∠MEO=45°，
∴∠NEF=45°=∠MEF，∴△NEF≌△MEF（SAS），∴NF=MF，
∴AM=OF=OF+NF=OF+MF，即 $\text{[math]}$ ．

注：本题第（3）问的原型：已知正方形AEOP，∠GEH=45°，
将∠GEH的顶点E与正方形的顶点E重合，∠GEH的两边分别
交PO、AP的延长线于F、M，求证：AM=MF+OF．
分析：（1）因为△AOB为等腰直角三角形，A（4，4），作AE⊥OB于E，则B点坐标可求；
（2）作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，求证△DFC≌△CEA，再根据等量变换，证明△AOB为等腰直角三角形，则∠AOD的度数可求；
（3）等式成立．在AM上截取AN=OF，连EN，易证△EAN≌△EOF，再根据角与角之间的关系，证明△NEM≌△FEM，则有AM-MF=OF，即可求证等式成立．
点评：此题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质和坐标与图形性质结合求解，综合性强，难度较大．考查学生综合运用数学知识的能力．