Question

已知：如图，点I是△ABC的内心，AI交边BC于点D，交△ABC外接圆于点E．
求证：
（1）IE=BE；        
（2）IE²=AE×DE．

Answer 1

分析：（1）利用内心的性质得出∠1=∠2，∠3=∠5，再利用外角性质得出∠BIE=∠EBI，进而求出即可；
（2）利用相似三角形的性质与判定得出△BED∽△AEB，进而求出BE²=AE•ED，即可得出答案．

解答： 证明：（1）连接BI、BE．
∵I为△ABC内心，
∴∠1=∠2，∠3=∠5，
∵∠3=∠4，
∴∠4=∠5，
∵∠BIE=∠2+∠5，
∠EBI=∠1+∠4，
∴∠BIE=∠EBI，
∴BE=IE；

（2）证明：∵∠BED=∠AEB，
∠4=∠5，
∴△BED∽△AEB，
∴

BE

AE

=

ED

EB

，即 BE²=AE•ED，
由①知BE=IE，
∴IE²=AE•ED．

点评：此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形外角的性质和相似三角形的判定与性质等知识，根据已知得出△BED∽△AEB是解题关键．