Question

已知：如图，点P是平行四边形ABCD的边DC上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．
（1）求证：AP⊥PB；
（2）如果AD=5，AP=8，求△APB的面积．

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形的同旁内角互补，再结合角平分线的定义，可以得到∠PAB+∠PBA=90°，再根据三角形的内角和定理就可证明；
（2）根据角平分线的定义以及两条直线平行，则内错角相等．从而证明△ADP和△BCP是等腰三角形．则AB=CD=PD+PC=2AD=10，根据勾股定理得到PB=6，再根据直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半．

解答：（1）证明：∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB=

1

2

∠DAB，∠PBA=

1

2

∠CBA．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠PAB+∠PBA=90°．
∴∠APB=180°-90°=90°．从而AP⊥PB．

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=5．
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB=∠PAD=∠DPA．
∴DP=AD=5．
同理PC=BC=5．
∴AB=DC=DP+PC=10．
∴在Rt△APB中，应用勾股定理得：BP=

AB2-AP2

=

102-82

=6．
∴△APB的面积是

1

2

AP•BP=

1

2

×8×6=24．

点评：根据平行线的性质结合角平分线的定义，发现两个等腰三角形ADP和等腰三角形BCP，再根据直角三角形的勾股定理进行计算．