Question

25、已知：如图，点D是△ABC的边AC上的一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，E、F为垂足，再过点D作DG∥AB，交BC于点G，且DE=DF．
（1）求证：DG=BG；
（2）求证：BD垂直平分EF．

Answer 1

分析：（1）连接BD，先根据DE⊥AB，DF⊥BC且DE=DF可知∠ABD=∠DBC，再根据DG∥AB即可得出∠ABD=∠BDG，进而可得出∴∠BDG=∠DBC，由等角对等边可知DG=BG；
（2）先根据（1）中∠ABD=∠DBC可知∠EDB=∠FDB，由全等三角形的判定定理可得出△BDE≌△BDF，再根据全等三角形的性质可得出BE=BF，DE=DF，故可得出BD垂直平分EF．

解答：解：（1）连接BD．
∵DE⊥AB，DF⊥BC且DE=DF，
∴∠ABD=∠DBC，
又∵DG∥AB，
∴∠ABD=∠BDG，
∴∠BDG=∠DBC，
∴DG=BG；
（2）由（1）∠ABD=∠DBC可知，∠EDB=∠FDB，
在△BDE与△BDF中，
∵∠ABD=∠DBC，BD=BD，∠EDB=∠FDB，
∴△BDE≌△BDF，
∴BE=BF，DE=DF，
∴BD垂直平分EF．

点评：本题考查的是角平分线及线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．