Question

如图，AB是⊙O的直径，MN是弦，AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，AB=10，MN=8，求BF-AE的值．

Answer 1

解：连接EO，并延长交BF于W，过O作OQ⊥MN于Q，
∵AE⊥MN，BF⊥MN，
∴AE∥OQ∥BF，
∵AO=OB，
∴EO=OW，EQ=QF，
∵AE∥BF，
∴△AEO∽△BWO，
∴=，
∵AO=BO，
∴AE=BW，
∴BF-AE=BF-BW=FW，
∵OQ⊥MN，OQ过O，
∴MQ=NQ=MN=4，
∵直径AB=10，
∴OM=5，
在Rt△MQO中，由勾股定理得：OQ=3，
∵EQ=QF，EO=OW，
∴WF=2OQ=6，
即BF-AE=6．
分析：连接EO，并延长交BF于W，过O作OQ⊥MN于Q，求出OQ，根据平行线分线段成比例定理求出EQ=FQ，EO=OW，AE=BW，求出WF=2OQ=6，即可求出答案．
点评：本题考查了垂径定理，勾股定理，平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，关键是求出OQ的长和得出FW=2OQ，BF-AE=WF．